你的问题包含了许多公式，这里将它们以显示模式展示：

1. 输入门设计
    $$i_{t}=\sigma\left(W_{x i} x_{t}+W_{k i} h_{r-1}+b_{i}\right)$$

2. 计算遗忘门的数值
    $$f_{t}=\sigma\left(W_{x f} x_{r}+W_{b f} h_{t-1}+b_{f}\right)$$

3. 输出状态
    $$o_{t}=\sigma\left(W_{s o} x_{i}+W_{h c} c_{t-1}+b_{o}\right)$$

4. 当前记忆单元状态
    $$
    \begin{aligned}
    c_{t}=f_{t} \circ c_{t-1}+i_{t} \circ \tilde{c}_{t} \\
    \tilde{c}_{t}=\tanh \left(W_{s x} x_{t}+W_{l s} h_{t-1}+b_{c}\right)
    \end{aligned}
    $$

5. 输出量的计算
    $$h_{[1]}=o_{r} \circ \tanh \left(c_{t}\right)$$

6. 重置门运算
    $$r_{i}=\sigma\left(w_{1 r} \cdot x_{t}+w_{t r} \cdot h_{1-1}+b_{r}\right)$$

7. 更新门运算
    $$z_{f}=\sigma\left(w_{x z} \cdot x_{j}+w_{b z} \cdot h_{t-1}+b_{z}\right)$$

8. GRU 单元的候选状态
    $$\tilde{h}_{1}=\tanh \left(w_{x f} \cdot x_{t}+w_{h f} \cdot\left(r_{t}^{*} h_{\mathrm{r}-1}\right)+b_{6}\right)$$

9. GRU 的输出值
    $$h_{i}=\left(1-z_{j}\right) * h_{i-1}+z_{j} * \tilde{h_{i}}$$

10. 单隐藏层循环神经网络
    $$
    \begin{aligned}
    s_{t}=U h_{t-1}+W x_{t}+b h \\
    h_{t}=\sigma\left(s_{t}\right) \\
    z_{t}=B h_{t}+b_{y} \\
    y_{t}=\text { soft } \max \left(z_{t}\right)
    \end{aligned}
    $$

这些公式分别描述了长短期记忆（LSTM）和门控循环单元（GRU）的内部运算，包括输入门、遗忘门、输出门和隐藏状态的计算。这些模型在序列建模任务中如语音识别、时间序列预测、自然语言处理等领域有广泛应用，因为它们擅长捕获时间序列数据中的长期依赖关系。